Progressão Geométrica (PG): fórmulas e exemplos

Na Progressão Geométrica (PG), cada termo é obtido multiplicando o anterior por um valor fixo, a razão $q$. É o modelo do crescimento exponencial: juros compostos, populações de bactérias, depreciação de bens.

Identificando uma PG

Numa PG, a razão entre termos consecutivos é constante:

$$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \dots$$

Por exemplo, $2, 6, 18, 54, \dots$ é uma PG de razão $q = 3$.

Termo geral

Para achar qualquer termo:

$$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$$

Exemplo: na PG $2, 6, 18, \dots$, qual é o 5º termo? $a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$.

Soma dos termos (PG finita)

A soma dos $n$ primeiros termos, quando $q \neq 1$, é:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}$$

Exemplo: some os 5 primeiros termos da PG acima. $S_5 = 2 \cdot \dfrac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \dfrac{243 - 1}{2} = 242$.

Soma infinita: quando ela existe

Se a razão está entre $-1$ e $1$ (ou seja, $|q| < 1$), os termos vão ficando cada vez menores e a soma infinita converge para um valor finito:

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$$

Exemplo: a soma $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots$ tem $a_1 = 1$ e $q = \dfrac{1}{2}$. Logo $S_\infty = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$. Por mais que você some, nunca passa de 2.

PA ou PG? Como distinguir

• Se você soma sempre o mesmo valor para avançar → PA.
• Se você multiplica sempre pelo mesmo valor → PG.

Erros comuns

• Usar $q^n$ em vez de $q^{\,n-1}$ no termo geral.
• Aplicar a soma infinita quando $|q| \geq 1$ (nesse caso ela não converge).
• Confundir crescimento por PG (exponencial) com crescimento por PA (linear).

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